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深度解析(十五)哈夫曼树
阅读量:5864 次
发布时间:2019-06-19

本文共 9694 字,大约阅读时间需要 32 分钟。

本章介绍哈夫曼树。和以往一样,本文会先对哈夫曼树的理论知识进行简单介绍,然后给出C语言的实现。后续再分别给出C++和Java版本的实现;实现的语言虽不同,但是原理如出一辙,选择其中之一进行了解即可。若文章有错误或不足的地方,请帮忙指出!

目录

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4.


转载请注明出处:

更多内容:

哈夫曼树的介绍

Huffman Tree,中文名是哈夫曼树或霍夫曼树,它是最优二叉树。

定义:给定n个权值作为n个叶子结点,构造一棵二叉树,若树的带权路径长度达到最小,则这棵树被称为哈夫曼树。 这个定义里面涉及到了几个陌生的概念,下面就是一颗哈夫曼树,我们来看图解答。

(01) 路径和路径长度

定义:在一棵树中,从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路,称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1,则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1。

例子:100和80的路径长度是1,50和30的路径长度是2,20和10的路径长度是3。

(02) 结点的权及带权路径长度

定义:若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值,则这个数值称为该结点的权。结点的带权路径长度为:从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积。

例子:节点20的路径长度是3,它的带权路径长度= 路径长度 * 权 = 3 * 20 = 60。

(03) 树的带权路径长度

定义:树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和,记为WPL。

例子:示例中,树的WPL= 1*100 + 2*80 + 3*20 + 3*10 = 100 + 160 + 60 + 30 = 350。

比较下面两棵树

上面的两棵树都是以{10, 20, 50, 100}为叶子节点的树。

左边的树WPL=2*10 + 2*20 + 2*50 + 2*100 = 360

右边的树WPL=350

左边的树WPL > 右边的树的WPL。你也可以计算除上面两种示例之外的情况,但实际上右边的树就是{10,20,50,100}对应的哈夫曼树。至此,应该堆哈夫曼树的概念有了一定的了解了,下面看看如何去构造一棵哈夫曼树。

哈夫曼树的图文解析

假设有n个权值,则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。 n个权值分别设为 w1、w2、…、wn,哈夫曼树的构造规则为:

1. 将w1、w2、…,wn看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有一个结点);

2. 在森林中选出根结点的权值最小的两棵树进行合并,作为一棵新树的左、右子树,且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和;
3. 从森林中删除选取的两棵树,并将新树加入森林;
4. 重复(02)、(03)步,直到森林中只剩一棵树为止,该树即为所求得的哈夫曼树。

以{5,6,7,8,15}为例,来构造一棵哈夫曼树。

第1步:创建森林,森林包括5棵树,这5棵树的权值分别是5,6,7,8,15。

第2步:在森林中,选择根节点权值最小的两棵树(5和6)来进行合并,将它们作为一颗新树的左右孩子(谁左谁右无关紧要,这里,我们选择较小的作为左孩子),并且新树的权值是左右孩子的权值之和。即,新树的权值是11。 然后,将"树5"和"树6"从森林中删除,并将新的树(树11)添加到森林中。
第3步:在森林中,选择根节点权值最小的两棵树(7和8)来进行合并。得到的新树的权值是15。 然后,将"树7"和"树8"从森林中删除,并将新的树(树15)添加到森林中。
第4步:在森林中,选择根节点权值最小的两棵树(11和15)来进行合并。得到的新树的权值是26。 然后,将"树11"和"树15"从森林中删除,并将新的树(树26)添加到森林中。
第5步:在森林中,选择根节点权值最小的两棵树(15和26)来进行合并。得到的新树的权值是41。 然后,将"树15"和"树26"从森林中删除,并将新的树(树41)添加到森林中。
此时,森林中只有一棵树(树41)。这棵树就是我们需要的哈夫曼树!

哈夫曼树的基本操作

哈夫曼树的重点是如何构造哈夫曼树。本文构造哈夫曼时,用到了以前介绍过的"(二叉堆)最小堆"。下面对哈夫曼树进行讲解。

1. 基本定义

typedef int Type;typedef struct _HuffmanNode {    Type key;                     // 权值    struct _HuffmanNode *left;    // 左孩子    struct _HuffmanNode *right;   // 右孩子    struct _HuffmanNode *parent;  // 父节点} HuffmanNode, *HuffmanTree;

HuffmanNode是哈夫曼树的节点类。

2. 构造哈夫曼树

/* * 创建Huffman树 * * 参数说明: *     a 权值数组 *     size 数组大小 * * 返回值: *     Huffman树的根 */HuffmanNode* create_huffman(Type a[], int size){    int i;    HuffmanNode *left, *right, *parent;    // 建立数组a对应的最小堆    create_minheap(a, size);    for(i=0; i
key+right->key, left, right, NULL); left->parent = parent; right->parent = parent; // 将parent节点数据拷贝到"最小堆"中 if (dump_to_minheap(parent)!=0) { printf("插入失败!\n结束程序\n"); destroy_huffman(parent); parent = NULL; break; } } // 销毁最小堆 destroy_minheap(); return parent;}

首先通过create_huffman(a, size)来一个最小堆。最小堆构造完成之后,进入for循环。

每次循环时:

(01) 首先,将最小堆中的最小节点拷贝一份并赋值给left,然后重塑最小堆(将最小节点和后面的节点交换位置,接着将"交换位置后的最小节点"之前的全部元素重新构造成最小堆);

(02) 接着,再将最小堆中的最小节点拷贝一份并将其赋值right,然后再次重塑最小堆;
(03) 然后,新建节点parent,并将它作为left和right的父节点;
(04) 接着,将parent的数据复制给最小堆中的指定节点。

在中已经介绍过堆,这里就不再对堆的代码进行说明了。若有疑问,直接参考后文的源码。其它的相关代码,也Please RTFSC(Read The Fucking Source Code)!

哈夫曼树的完整源码

哈夫曼树的源码共包括4个文件。

1.

2.

3.

4.

 

1. huffman.h

#ifndef _AVL_TREE_H_

#define _AVL_TREE_H_
typedef int Type;
typedef struct _HuffmanNode{
    Type key;                    /* 权值*/
    struct _HuffmanNode *left;    /* 左孩子*/
    struct _HuffmanNode *right;    /* 右孩子*/
    struct _HuffmanNode *parent;/* 父节点*/
}HuffmanNode, *HuffmanTree;
/* 前序遍历"Huffman树"*/
void preorder_huffman(HuffmanTree tree);
/* 中序遍历"Huffman树"*/
void inorder_huffman(HuffmanTree tree);
/* 后序遍历"Huffman树"*/
void postorder_huffman(HuffmanTree tree);
/* 创建Huffman树*/
HuffmanNode* create_huffman(Type arr[], int size);
/* 销毁Huffman树*/
void destroy_huffman(HuffmanTree tree);
/* 打印Huffman树*/
void print_huffman(HuffmanTree tree);
#endif

2. huffman.c

/**

 * Huffman树(C语言): C语言实现的Huffman树。
 *
 * 构造Huffman树时,使用到了最小堆。
 *
 * @author skywang
 * @date 2014/03/25
 */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include "huffman.h"
// 创建最小堆
extern void create_minheap(Type a[], int size);
// 新建一个节点,并将最小堆中最小节点的数据复制给该节点。
extern HuffmanNode* dump_from_minheap();
// 将data插入到二叉堆中。0表示成功,-1表示失败。
extern int dump_to_minheap(HuffmanNode *node);
// 销毁最小堆
extern void destroy_minheap();
/*
 * 前序遍历"Huffman树"
 */
void preorder_huffman(HuffmanTree tree)
{
    if(tree != NULL)
    {
        printf("%d ", tree->key);
        preorder_huffman(tree->left);
        preorder_huffman(tree->right);
    }
}
/*
 * 中序遍历"Huffman树"
 */
void inorder_huffman(HuffmanTree tree)
{
    if(tree != NULL)
    {
        inorder_huffman(tree->left);
        printf("%d ", tree->key);
        inorder_huffman(tree->right);
    }
}
/*
 * 后序遍历"Huffman树"
 */
void postorder_huffman(HuffmanTree tree)
{
    if(tree != NULL)
    {
        postorder_huffman(tree->left);
        postorder_huffman(tree->right);
        printf("%d ", tree->key);
    }
}
/*
 * 创建Huffman树结点。
 *
 * 参数说明:
 *     key 是键值。
 *     left 是左孩子。
 *     right 是右孩子。
 *     parent 是父节点
 */
HuffmanNode* huffman_create_node(Type key, HuffmanNode *left, HuffmanNode* right, HuffmanNode* parent)
{
    HuffmanNode* p;
    if ((p = (HuffmanNode *)malloc(sizeof(HuffmanNode))) == NULL)
        return NULL;
    p->key = key;
    p->left = left;
    p->right = right;
    p->parent = parent;
    return p;
}
/*
 * 创建Huffman树
 *
 * 参数说明:
 *     a 权值数组
 *     size 数组大小
 *
 * 返回值:
 *     Huffman树的根
 */
HuffmanNode* create_huffman(Type a[], int size)
{
    int i;
    HuffmanNode *left, *right, *parent;
    // 建立数组a对应的最小堆
    create_minheap(a, size);
 
    for(i=0; i<size-1; i++)
    {   
        left = dump_from_minheap();  // 最小节点是左孩子
        right = dump_from_minheap(); // 其次才是右孩子
 
        // 新建parent节点,左右孩子分别是left/right;
        // parent的大小是左右孩子之和
        parent = huffman_create_node(left->key+right->key, left, right, NULL);
        left->parent = parent;
        right->parent = parent;
 
        // 将parent节点数据拷贝到"最小堆"中
        if (dump_to_minheap(parent)!=0)
        {
            printf("插入失败!\n结束程序\n");
            destroy_huffman(parent);
            parent = NULL;
            break;
        }
    }   
    // 销毁最小堆
    destroy_minheap();
    return parent;
}
/*
 * 销毁Huffman树
 */
void destroy_huffman(HuffmanTree tree)
{
    if (tree==NULL)
        return ;
    if (tree->left != NULL)
        destroy_huffman(tree->left);
    if (tree->right != NULL)
        destroy_huffman(tree->right);
    free(tree);
}
/*
 * 打印"Huffman树"
 *
 * tree       -- Huffman树的节点
 * key        -- 节点的键值
 * direction  --  0,表示该节点是根节点;
 *               -1,表示该节点是它的父结点的左孩子;
 *                1,表示该节点是它的父结点的右孩子。
 */
void huffman_print(HuffmanTree tree, Type key, int direction)
{
    if(tree != NULL)
    {
        if(direction==0)    // tree是根节点
            printf("%2d is root\n", tree->key, key);
        else                // tree是分支节点
            printf("%2d is %2d's %6s child\n", tree->key, key, direction==1?"right" : "left");
        huffman_print(tree->left, tree->key, -1);
        huffman_print(tree->right,tree->key,  1);
    }
}
void print_huffman(HuffmanTree tree)
{
    if (tree!=NULL)
        huffman_print(tree, tree->key, 0);
}

3. minheap.c

/**

 * 最小堆:为Huffman树服务的。
 *
 * @author skywang
 * @date 2014/03/25
 */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include "huffman.h"
static HuffmanNode *m_heap;    // 最小堆的数组
static int m_capacity;        // 总的容量
static int m_size;            // 当前有效数据的数量
 
/*
 * 最小堆的向下调整算法
 *
 * 注:数组实现的堆中,第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1),右孩子的索引是(2N+2)。
 *
 * 参数说明:
 *     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0,表示从第1个开始)
 *     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
 */
static void minheap_filterdown(int start, int end)
{
    int c = start;          // 当前(current)节点的位置
    int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置
    HuffmanNode tmp = m_heap[c];    // 当前(current)节点
    while(l <= end)
    {
        // "l"是左孩子,"l+1"是右孩子
        if(l < end && m_heap[l].key > m_heap[l+1].key)
            l++;        // 左右两孩子中选择较小者,即m_heap[l+1]
        if(tmp.key <= m_heap[l].key)
            break;        //调整结束
        else
        {
            m_heap[c] = m_heap[l];
            c = l;
            l = 2*l + 1;   
        }       
    }   
    m_heap[c] = tmp;
}
 
/*
 * 最小堆的向上调整算法(从start开始向上直到0,调整堆)
 *
 * 注:数组实现的堆中,第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1),右孩子的索引是(2N+2)。
 *
 * 参数说明:
 *     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
 */
static void filter_up(int start)
{
    int c = start;            // 当前节点(current)的位置
    int p = (c-1)/2;        // 父(parent)结点的位置
    HuffmanNode tmp = m_heap[c];        // 当前节点(current)
    while(c > 0)
    {
        if(m_heap[p].key <= tmp.key)
            break;
        else
        {
            m_heap[c] = m_heap[p];
            c = p;
            p = (p-1)/2;   
        }       
    }
    m_heap[c] = tmp;
}
 
/*
 * 将node插入到二叉堆中
 *
 * 返回值:
 *     0,表示成功
 *    -1,表示失败
 */
int dump_to_minheap(HuffmanNode *node)
{
    // 如果"堆"已满,则返回
    if(m_size == m_capacity)
        return -1;
 
    m_heap[m_size] = *node;     // 将"node的数据"全部复制到"数组末尾"
    filter_up(m_size);            // 向上调整堆
    m_size++;                    // 堆的实际容量+1
    return 0;
}
/*
 * 交换两个HuffmanNode节点的全部数据
 */
static void swap_node(int i, int j)
{
    HuffmanNode tmp = m_heap[i];
    m_heap[i] = m_heap[j];
    m_heap[j] = tmp;
}
/*
 * 新建一个节点,并将最小堆中最小节点的数据复制给该节点。
 * 然后除最小节点之外的数据重新构造成最小堆。
 *
 * 返回值:
 *     失败返回NULL。
 */
HuffmanNode* dump_from_minheap()
{
    // 如果"堆"已空,则返回
    if(m_size == 0)
        return NULL;
    HuffmanNode *node;
    if((node = (HuffmanNode *)malloc(sizeof(HuffmanNode))) == NULL)
        return NULL;
    // 将"最小节点的全部数据"复制给node
    *node = m_heap[0];
    swap_node(0, m_size-1);                // 交换"最小节点"和"最后一个节点"
    minheap_filterdown(0, m_size-2);    // 将m_heap[0...m_size-2]构造成一个最小堆
    m_size--;                        
    return node;
}
/*
 * 打印二叉堆
 *
 * 返回值:
 *     0,表示成功
 *    -1,表示失败
 */
void minheap_print()
{
    int i;
    for (i=0; i<m_size; i++)
        printf("%d ", m_heap[i].key);
}
/*
 * 创建最小堆
 *
 * 参数说明:
 *     a -- 数据所在的数组
 *     size -- 数组大小
 */
void create_minheap(Type a[], int size)
{
    int i;
    // 创建最小堆所对应的数组
    m_size = size;
    m_capacity = size;
    m_heap = (HuffmanNode *)malloc(sizeof(HuffmanNode)*size);
    
    // 初始化数组
    for(i=0; i<size; i++)
    {
        m_heap[i].key = a[i];
        m_heap[i].parent = m_heap[i].left = m_heap[i].right = NULL;
    }
    // 从(size/2-1) --> 0逐次遍历。遍历之后,得到的数组实际上是一个最小堆。
    for (i = size / 2 - 1; i >= 0; i--)
        minheap_filterdown(i, size-1);
}
// 销毁最小堆
void destroy_minheap()
{
    m_size = 0;
    m_capacity = 0;
    free(m_heap);
}

4. huffman_test.c

/**

 * C 语言: Huffman树
 *
 * @author skywang
 * @date 2014/03/25
 */
#include <stdio.h>
#include "huffman.h"
#define LENGTH(a) ( (sizeof(a)) / (sizeof(a[0])) )
void main()
{
    int a[]= {5,6,8,7,15};
    int i,ilen=LENGTH(a);
    HuffmanTree root=NULL;
    printf("== 添加数组: ");
    for(i=0; i<ilen; i++)
        printf("%d ", a[i]);
    // 创建数组a对应的Huffman树
    root = create_huffman(a, ilen);
    printf("\n== 前序遍历: ");
    preorder_huffman(root);
    printf("\n== 中序遍历: ");
    inorder_huffman(root);
    printf("\n== 后序遍历: ");
    postorder_huffman(root);
    printf("\n");
    printf("== 树的详细信息: \n");
    print_huffman(root);
    // 销毁二叉树
    destroy_huffman(root);
}

转载于:https://www.cnblogs.com/alantu2018/p/8465604.html

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